UNIDAD 2 MATRICES DETERMINANTES

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n). Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. 

Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

Dada la matriz:

que es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] es el 7

La matriz:

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

2.2 Operaciones con matrices. 

SUMA:

Propiedades

-Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
(A + B) + C = A + (B + C)

-Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A

-Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A

PRODUCTO POR UN ESCALAR:

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A

Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.

-Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

-Asociatividad: (cd)A = c(dA)

-Elemento Neutro: 1·A = A

-Distributividad:

    -De escalar: c(A+B) = cA+cB

    -De matriz: (c+d)A = cA+dA

PRODUCTO DE DOS MATRICES:El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, pcolumnas).

2.3 Clasificación de las matrices. 

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

        

        Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

        

        La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. 

2.5  Calculo de la inversa de una matriz. 

2.6 Definición de determinante de una matriz. 

2.7 Propiedades de los determinantes. 

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. 

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.