miércoles, 26 de agosto de 2015

UNIDAD 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
 
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.


El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
= Clasificación =

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:
  • Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
  • Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
  • Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución
Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:
  • Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. 
Ejemplo: 
  • Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son. 
Ejemplo: 
  • Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra. 
Ejemplo: 

=Tipos de Solución=
=Sustitución=
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
 

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones. 
Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son: 

=Un punto único. Sistema compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P.

=Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en r.
=Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

=Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.

=Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales y tipos de solución.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS-JORDAN

Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas. 

El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método. 

Partimos, inicialmente, de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible determinado:
En primer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnita x1, obteniéndose un sistema equivalente:
En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita x2, obteniéndose un sistema equivalente:
Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación. 

Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes:
  • Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. 
  • Sumarle o restarle a una fila otra fila. 
  • Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero. 
  • Cambiar el orden de las filas. 
  • Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita y y la tercera a la incógnita z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita z y la tercera a la incógnita y. 
  • Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras. 
  • Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0).

Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas.

3.5 Aplicaciones. 
=Fracciones parciales =
Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo.

Ejemplo 4.1 Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:
SOLUCIÓN

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